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By Prof. Dr. Konrad Königsberger (auth.)

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The Arithmetic Mean Theorem). If , then . (The quantity numbers, is by definition, the arithmetic mean of the ). e. is a null sequence. Let us We shall show that is a null sequence, as well. e. smaller than any arbitrary small positive number . e. , will in (*) Let us now consider the terms of , for . where in the last inequality, (*) has been taken into account, and finally, (**) Assuming quite large, , the term becomes arbitrarily small, since the numerator remains constant, while the denominator can become arbitrarily large, meaning that for quite large values of , where is an arbitrarily small positive number.

Show that the sequence with general term is increasing and bounded, and find its limit. e. the sequence is increasing. Also, the given sequence is bounded, the reader may easily prove that . Finally, the limit of does exist, and is , according to note (a), in Example 9-2. Example 9-12. If , find the . Solution Applying the well known, elementary identity, , for and , one obtains As , the denominator tends to , (see (8-7), (8-8), (8-9) and (8-10)), while the numerator remains constant, therefore, (see (9-11)), Example 9-13.

Now let be any given, arbitrarily small positive number. Since is the sup( ), the number is not an upper bound of , meaning that there exists at least one term , such that , and since is increasing, we have, At the same time, (since no terms of This last inequality shows that can exceed ), and this completes the proof. b) Quite similarly, one may show part (b) of the Theorem. Theorem 10-6. (Principle of nested intervals). Let and be two given sequences. e. Proof: Since and , we have, The increasing sequence has an upper bound,(for example the term ),therefore, according to Theorem 10-5,is convergent ,and let Similarly, the decreasing sequence has a lower bound,(for example the term ),therefore again by virtue of Theorem 10-5,is convergent, and let .

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